\documentclass{latexkurs-uebung}

\title{4. Übungsblatt}
\date{\dateFourthLecture}

\begin{document}

\NewTask

Welche Ausgabe erzeugt folgender \LaTeX-Code? (verwende das Paket
\texttt{amssymb} zusätzlich zu \texttt{amsmath})

\begin{lstlisting}
\begin{equation*}
  D := \bigl\{ v \in \mathbb{R}^{3} \bigm| \lvert v \rvert \leq 1 \bigr\}.
\end{equation*}
\end{lstlisting}

Was geschieht, wenn man statt \lstinline{\bigl}, \lstinline{\bigr} und
\lstinline{\bigm} die Befehle \lstinline{\Bigl}, \lstinline{\Bigr} und
\lstinline{\Bigm} verwendet?  Was passiert mit \lstinline{\left},
  \lstinline{\right} und \lstinline{\,\middle\,}?  Was passiert ohne die
Kommandos \lstinline|\,|?


\NewTask

Versuche folgende Argumentation in \LaTeX\ zu setzen:

\medskip

\hrule

\medskip

Die \emph{Stirlingformel} gibt eine Approximation der Fakultätsfunktion an.  Sie besagt
\begin{equation}
  \label{eq:1}
  \ln(n!) = n\ln(n) - n + \mathcal{O}(\ln(n)).
\end{equation}
Der nächste Term in der Fehlerapproximation $\mathcal{O}(\ln(n))$ ist $1/2 \cdot \ln(2 \pi
n)$, so dass sich aus Formel~(\ref{eq:1}) ergibt
\begin{equation*}
  n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac n e \right)^{n}.
\end{equation*}
Tatsächlich hat die Stirlingformel als Approximationsformel für die Fakultätsfunktion die
Eigenschaft, dass
\begin{equation*}
  \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac n e\right)^{n}} \to 1 \quad (n \to \infty).
\end{equation*}

\medskip
\hrule
\medskip

{\small Quelle: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation}}


\NewTask

Setze die Formel für die \emph{Vandermonde-Matrix}:
\begin{equation*}
  \det
  \begin{pmatrix}
    1 & \alpha_{1} & \alpha_{1}^{2} & \dots & \alpha_{1}^{n-1} \\
    1 & \alpha_{2} & \alpha_{2}^{2} & \dots & \alpha_{2}^{n-1} \\
    1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \dots & \alpha_{3}^{n-1} \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    1 & \alpha_{m} & \alpha_{m}^{2} & \dots & \alpha_{m}^{n-1}
  \end{pmatrix}
   = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (\alpha_{j} - \alpha_{i}).
\end{equation*}


\NewTask

Setze folgende Gleichung (entnommen aus der Dokumentation des Pakets \texttt{amsmath}):
\begin{equation*}
  \left.
    \begin{aligned}
      B' &= -\partial \times E \\
      E' &=  \partial \times B - 4\pi j
    \end{aligned}
  \;\;\right\}
  \quad \text{Maxwells Gleichungen}
\end{equation*}


\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% ispell-local-dictionary: "de_DE"
%%% End:
