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lecture-03-math.tex 12KB

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  1. \documentclass{latexkurs}
  2. \subtitle{Setzen Mathematischer Formeln}
  3. \date{2015-11-30}
  4. \begin{document}
  5. \begin{frame}
  6. \frametitle{Ziele dieses Abschnitts (oder: Wozu \TeX\ geschaffen wurde)}
  7. \onslide<+->
  8. \begin{equation*}
  9. \frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z_0} = \frac{f\left(\zeta\right)}
  10. {\zeta-z_0}\frac{1}{
  11. 1-\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f\left(\zeta\right)}
  12. {\zeta-z_0}
  13. \left(\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right)^n
  14. \end{equation*}
  15. \medskip
  16. \begin{equation*}
  17. 0 \neq \left|\, \frac{1}{10^{10}} \left( \sum_{n = -\infty}^{\infty}
  18. e^{\frac{n^2}{10^{10}}} \right)^2 - \pi \,\right|
  19. \le 10^{-42 \cdot 10^9}
  20. \end{equation*}
  21. \medskip
  22. \begin{equation*}
  23. \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}
  24. \end{equation*}
  25. \end{frame}
  26. \begin{frame}
  27. \frametitle{Setzen mathematischer Formeln}
  28. \onslide<+->
  29. Prinzipiell ist Mathematik eine ganz andere Welt (nicht nur in \LaTeX), denn
  30. \begin{itemize}
  31. \item<+-> das Setzen mathematischer Formeln erfolgt in einer eigenen Umgebung
  32. \item<+-> mit eigenen Befehlen,
  33. \item<+-> eigener Schrift,
  34. \item<+-> eigenen Einstellungen
  35. \item<+-> und eigenen Tücken \dots
  36. \end{itemize}
  37. \onslide<+->
  38. aber es ist einfacher (und schöner) als in den meisten (allen) anderen Textsatzsystemen
  39. \end{frame}
  40. %%% HERE
  41. \section{Grundlagen}
  42. \begin{frame}[fragile]
  43. \frametitle{Das Grundgerüst}
  44. \onslide<+->
  45. \begin{block}{Zwei grundlegende Modi für Mathematik}
  46. \begin{itemize}
  47. \item<+-> Im laufenden Text mit \lstinline!$\text{\$}\dots\text{\$}$! oder
  48. \lstinline!\($\dots$\)!
  49. \item<+-> oder abgesetzt mit \lstinline!\[$\dots$\]! oder
  50. \lstinline!\begin{displaymath}$\dots$\end{displaymath}!
  51. \end{itemize}
  52. \end{block}
  53. \onslide<+->
  54. \begin{block}{Einige Formelelemente}
  55. \begin{itemize}[<+->]
  56. \item Buchstaben, dargestellt als \textit{jeweils ein} Symbol, $xyz$,
  57. \item Zahlen: $123$,
  58. \item griechische Buchstaben $\gamma, \varepsilon, \xi, \ldots$ und
  59. hebräische wie $\aleph, \beth, \ldots$
  60. \item Operationen: $+$,$-$ und $\cdot$ (mit \lstinline!\cdot!)
  61. \item Sub- und Superskripte: $\text{\lstinline!x^2!} \mathrel{\hat=} x^2$
  62. und $\text{\lstinline!x_2!} \mathrel{\hat=} x_2$,
  63. \item Brüche: \lstinline!\frac{$\textit{Zähler}$}{$\textit{Nenner}$}!
  64. ${} \mathrel{\hat=} \frac{1}{n}$,
  65. \item Wurzeln: \lstinline!\sqrt[3]{x}! ${} \mathrel{\hat=} \sqrt[3]{x}$
  66. \end{itemize}
  67. \end{block}
  68. \end{frame}
  69. \begin{frame}[fragile]
  70. \onslide<+->
  71. \begin{Beispiel}
  72. Dies $\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty$ ist eine Textformel und
  73. \begin{displaymath}
  74. \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n} = \infty
  75. \end{displaymath}
  76. ist eine abgesetzte Formel.
  77. \onslide<+->
  78. \begin{lstlisting}
  79. Dies $\text{\$}$\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty$\text{\$}$
  80. ist eine Textformel und
  81. \begin{displaymath}
  82. \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n} = \infty
  83. \end{displaymath}
  84. ist eine abgesetzte Formel.
  85. \end{lstlisting}
  86. \end{Beispiel}
  87. \end{frame}
  88. \begin{frame}[fragile]
  89. \onslide<+->
  90. \begin{Beispiel}
  91. \begin{displaymath}
  92. \gamma + \frac{\aleph^{\beth - \frac{1+\beta\cdot
  93. x^2}{\sqrt{2}}}-5}{\sqrt[2+\sqrt{\phi}]
  94. {42-\alpha-\theta-\mu}^\pi}
  95. \end{displaymath}
  96. \onslide<+->
  97. \bigskip
  98. \begin{lstlisting}
  99. \begin{displaymath}
  100. \gamma
  101. + \frac{\aleph^{\beth - \frac{1+\beta\cdot x^2}{\sqrt{2}}}-5}
  102. {\sqrt[2+\sqrt{\phi}] {42-\alpha-\theta-\mu}^\pi}
  103. \end{displaymath}
  104. \end{lstlisting}
  105. \end{Beispiel}
  106. \end{frame}
  107. \section{Das Paket \texttt{amsmath}}
  108. \begin{frame}[fragile]
  109. \frametitle{\texttt{amsmath}}
  110. \onslide<+->
  111. \begin{block}{\textcolor{red!90}{Wichtig!}}
  112. Für das Setzen mathematischer Formeln sollte \emph{immer} das Paket \texttt{amsmath}
  113. geladen werden (oder ein Paket, welches \texttt{amsmath} lädt).
  114. \end{block}
  115. \onslide<+->
  116. Umgebungen aus dem Paket \texttt{amsmath}:
  117. \onslide<+->
  118. \begin{itemize}
  119. \item \texttt{equation} für einfache Formeln (ersetzt \texttt{displaymath})
  120. \item \texttt{split} für den Einsatz mehrzeiliger Formeln in der
  121. \texttt{equation}
  122. \item \texttt{align}, \texttt{alignat}, \texttt{aligned}, \texttt{alignedat}
  123. für mehrzeilige ausgerichtete Formeln
  124. \item \texttt{multline} für \enquote{zu lange} Formeln
  125. \item \texttt{gather} für lose zusammengeworfenen Formeln
  126. \item ...
  127. \end{itemize}
  128. \onslide<+->
  129. \texttt{*}-Variante für Umgebung ohne Nummer.
  130. \end{frame}
  131. \begin{frame}[fragile]
  132. \frametitle{Ausgerichtete Formeln}
  133. \onslide<+->
  134. mit
  135. \begin{lstlisting}
  136. \usepackage{amsmath}
  137. \begin{align*}
  138. $\dots$
  139. \end{align*}
  140. \end{lstlisting}
  141. \onslide<+->
  142. z.B.
  143. \begin{lstlisting}
  144. \begin{align*}
  145. 2x + y + 5x + z
  146. &= 2x + 5x + y + z \\
  147. &= 7x + y + z
  148. \end{align*}
  149. \end{lstlisting}
  150. wird zu\vspace*{-\baselineskip}
  151. \begin{align*}
  152. 2x + y + 5x + z &= 2x + 5x + y + z \\
  153. &= 7 x + y + z
  154. \end{align*}
  155. \end{frame}
  156. \begin{frame}[fragile]
  157. \frametitle{Tabellen (Matrizen)}
  158. \onslide<+->
  159. Für Matrizen gibt es die Umgebung \texttt{pmatrix}:
  160. \begin{lstlisting}
  161. \begin{equation*}
  162. \begin{pmatrix}
  163. 1 & 2 & 3 \\
  164. 4 & 5 & 6 \\
  165. 7 & 8 & 9
  166. \end{pmatrix}
  167. \end{equation*}
  168. \end{lstlisting}
  169. \onslide<+->
  170. \begin{equation*}
  171. \begin{pmatrix}
  172. 1 & 2 & 3 \\
  173. 4 & 5 & 6 \\
  174. 7 & 8 & 9
  175. \end{pmatrix}
  176. \end{equation*}
  177. \onslide<+->
  178. ist aber auch mit der Umgebung \texttt{array} möglich.
  179. \end{frame}
  180. \section{Einzelelemente}
  181. % Grundregeln: Leerzeichen werden ignoriert, keine Leerzeilen, kein Text in Matheformeln
  182. \begin{frame}[fragile]
  183. \frametitle{Klammern}
  184. \onslide<+->
  185. \LaTeX\ unterstützt jegliche Formen von Klammern:
  186. \begin{equation*}
  187. (x), \{x\},[x],\lfloor x\rfloor, \lceil x\rceil,\lvert x\rvert,\langle x \rangle,\ldots
  188. \end{equation*}
  189. \onslide<+->
  190. \begin{lstlisting}
  191. (x), \{x\},[x],\lfloor x\rfloor, \lceil x\rceil,
  192. \lvert x\rvert,\langle x \rangle,\ldots
  193. \end{lstlisting}
  194. \medskip
  195. \onslide<+->
  196. Größenanpassung mit \lstinline{\left} und \lstinline{\right}, jeweils paarig:
  197. \begin{lstlisting}
  198. \left(\sum_{i=0}^1 5 = 10\right)
  199. \end{lstlisting}
  200. \vspace*{-2ex}
  201. \begin{equation*}
  202. \left(\sum_{i=0}^1 5 = 10\right)
  203. \end{equation*}
  204. \vspace*{1ex}
  205. \onslide<+->
  206. \begin{lstlisting}
  207. \left|\sum_{i=0}^1 5 = 10\right[
  208. \end{lstlisting}
  209. \vspace*{-2ex}
  210. \begin{equation*}
  211. \left|\sum_{i=0}^1 5 = 10\right[
  212. \end{equation*}
  213. \end{frame}
  214. \begin{frame}[fragile]
  215. \frametitle{Klammern II}
  216. \onslide<+->
  217. oder auch
  218. \begin{lstlisting}
  219. \int_0^1 x^2 \mathop{} \mathsf d x =
  220. \left.\frac{1}{3}x^3\right|_0^1
  221. \end{lstlisting}
  222. \begin{equation*}
  223. \int_0^1x^2 \mathop{} \mathsf d x = \left.\frac{1}{3}x^3\right|_0^1
  224. \end{equation*}
  225. denn \verb|.| ist das Sonderzeichen für eine leere Klammer.
  226. \onslide<+->
  227. \medskip
  228. Klammern gibt es auch über- und unterhalb von Formeln mit Hilfe von
  229. \lstinline{\underbrace} und \lstinline{\overbrace}:
  230. \begin{lstlisting}
  231. 1+\underbrace{ 2 + \overbrace{3 + 4}^{7} }_{9} = 10
  232. \end{lstlisting}
  233. \begin{equation*}
  234. 1+\underbrace{ 2 + \overbrace{3 + 4}^{7} }_{9} = 10
  235. \end{equation*}
  236. \end{frame}
  237. \begin{frame}[fragile]
  238. \frametitle{Funktionen}
  239. \onslide<+->
  240. \begin{block}{Beobachtung}
  241. \vspace*{-\baselineskip}
  242. \begin{equation*}
  243. sin(x) \neq \sin(x)
  244. \end{equation*}
  245. \end{block}
  246. \onslide<+->
  247. daher: allgemein gebräuchliche Funktionen werden gesondert behandelt:
  248. \smallskip
  249. \begin{center}
  250. \begin{tabular}{ll|ll|ll|ll}
  251. \toprule
  252. \lstinline!\log! & $\log$ & \lstinline!\lg! & $\lg$ & \lstinline!\ln! & $\ln$ & \lstinline!\lim! & $\lim$ \\
  253. \lstinline!\sin! & $\sin$ & \lstinline!\arcsin! & $\arcsin$ & \lstinline!\sinh! & $\sinh$ & \lstinline!\cos! & $\cos$ \\
  254. \lstinline!\arccos! & $\arccos$ & \lstinline!\cosh! & $\cosh$ & \lstinline!\tan! & $\tan$ & \lstinline!\tanh! & $\tanh$ \\
  255. \lstinline!\arctan! & $\arctan$ & \lstinline!\cot! & $\cot$ & \lstinline!\coth! & $\coth$ & \lstinline!\max! & $\max$ \\
  256. \lstinline!\min! & $\min$ & \lstinline!\arg! & $\arg$ & \lstinline!\det! & $\det$ & \lstinline!\Pr! & $\Pr$ \\
  257. \bottomrule
  258. \end{tabular}
  259. \end{center}
  260. \smallskip
  261. \onslide<+->
  262. Damit sind auch korrekte Indizierungen möglich:
  263. \begin{lstlisting}
  264. lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad
  265. \not\equiv \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
  266. \end{lstlisting}
  267. \begin{equation*}
  268. lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad \not\equiv \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
  269. \end{equation*}
  270. \end{frame}
  271. \begin{frame}[fragile]
  272. \frametitle{Mengen}
  273. \onslide<+->
  274. Mengenbedingungen werden mit dem Kommando \lstinline{\mid} gesetzt:
  275. \begin{lstlisting}
  276. \{\, n \in \mathbb N \mid n \ge \pi \,\}
  277. \end{lstlisting}
  278. \vskip1ex
  279. \begin{equation*}
  280. \{\, n \in \mathbb N \mid n \ge \pi \,\}
  281. \end{equation*}
  282. \onslide<+->
  283. Ein einfacher Strich | reicht nicht aus!
  284. \begin{equation*}
  285. \{\, n \in \mathbb N | n \ge \pi \,\}
  286. \end{equation*}
  287. \end{frame}
  288. \begin{frame}[fragile]
  289. \frametitle{Akzente}
  290. \onslide<+->
  291. Auch Akzente sind im Mathematikmodus neu:
  292. \medskip
  293. \begin{center}
  294. \begin{tabular}{ll|ll|ll}
  295. \toprule
  296. \lstinline!\acute! & $\acute x$ & \lstinline!\hat! & $\hat x$ & \lstinline!\grave! & $\grave x$ \\
  297. \lstinline!\ddot! & $\ddot x$ & \lstinline!\tilde! & $\tilde x$ & \lstinline!\bar! & $\bar x$ \\
  298. \lstinline!\breve! & $\breve x$ & \lstinline!\check! & $\check x$ & \lstinline!\dot! & $\dot x$ \\
  299. \lstinline!\vec! & $\vec x$ & \lstinline!\widetilde! & $\widetilde{xyz}$ & \lstinline!\widehat! & $\widehat{xyz}$ \\
  300. \lstinline!\mathring! & $\mathring x$ & \lstinline!\prime! & $x^{\prime}$ & \lstinline!'! & $x'$\\
  301. \bottomrule
  302. \end{tabular}
  303. \end{center}
  304. \medskip
  305. und mit Hilfe einiger Zusatzpakete gibt es noch viel mehr\ldots
  306. \end{frame}
  307. \begin{frame}[fragile]
  308. \frametitle{\dots\ und noch viel mehr Symbole}
  309. \onslide<+->
  310. Hier:
  311. \begin{center}
  312. \small \url{http://tug.ctan.org/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf}
  313. \end{center}
  314. oder
  315. \begin{verbatim}
  316. $ texdoc symbols-a4.pdf
  317. \end{verbatim}
  318. \onslide<+->
  319. und noch viel mehr zu sagen, z.B.
  320. \begin{itemize}
  321. \item<+-> gibt es 8 unterschiedliche Symbolklassen
  322. \item<+-> eigentlich 4 (8) Modi im Mathematikmodus
  323. \item<+-> Text in mathematischen Formeln (mit \lstinline!\text{ein wenig Text}!)
  324. \item<+-> manuelle Feinjustierung, z.B.
  325. \begin{equation*}
  326. \int_0^1x^2dx \neq \int_0^1 \! x^2 \mathop{} \mathrm{d}x
  327. \end{equation*}
  328. \item<+-> \ldots
  329. \end{itemize}
  330. \end{frame}
  331. \section{Mathematische Aussagen}
  332. \begin{frame}
  333. \frametitle{Definition, Satz, Beweis}
  334. \onslide<+->
  335. Für mathematische Argumentation sind oft spezielle Formatierungen für Definitionen,
  336. Sätze, usw.\,nötig.
  337. \onslide<+->
  338. \begin{Lemma}
  339. Ist $W$ eine ideale Welt, dann
  340. \begin{enumerate}
  341. \item werden alle Texte nur mit \LaTeX\ gesetzt, und deswegen
  342. \item sind alle mathematischen Formeln schön!
  343. \end{enumerate}
  344. \end{Lemma}
  345. \onslide<+->
  346. \begin{Proof}
  347. \onslide<+->Klar.\onslide<+->
  348. \end{Proof}
  349. \end{frame}
  350. \begin{frame}[fragile]
  351. \frametitle{Umgebungen für Defitionen, Sätze, \dots}
  352. \onslide<+->
  353. Manchmal werden solche Umgebungen von der Dokumentenklasse bereit gestellt (wie
  354. z.B.\,\texttt{beamer}).
  355. \onslide<+->
  356. \medskip
  357. Ansonsten helfen Pakete (\texttt{amsthm}, \texttt{ntheorem}, \dots)
  358. \onslide<+->
  359. \begin{lstlisting}
  360. \usepackage[thmmarks,amsmath,hyperref]{ntheorem}
  361. \theoremstyle{standard}
  362. \theoremheaderfont{\normalfont\bfseries}
  363. \theorembodyfont{\slshape}
  364. \newtheorem{Theorem} {Theorem} [section]
  365. \newtheorem{Proposition} [Theorem] {Proposition}
  366. \newtheorem{Lemma} [Theorem] {Lemma}
  367. \newtheorem{Corollary} [Theorem] {Corollary}
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  369. \end{frame}
  370. \section{Zum Abschluß}
  371. \begin{frame}
  372. \frametitle{Eine wichtige Grundregel}
  373. \onslide<2->
  374. \begin{center}
  375. \Huge\color[rgb]{0.9,0.1,0.1}
  376. Lesbarkeit geht vor!
  377. \end{center}
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  379. \end{document}
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