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lecture-03-math.tex 12KB

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539
  1. \documentclass{latexkurs}
  2. \subtitle{Setzen Mathematischer Formeln}
  3. \date{\dateFourthLecture}
  4. \begin{document}
  5. \maketitle
  6. \begin{frame}
  7. \frametitle{Ziele dieses Abschnitts}
  8. \onslide<+->
  9. \begin{equation*}
  10. \frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z_0} = \frac{f\left(\zeta\right)}
  11. {\zeta-z_0}\frac{1}{
  12. 1-\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f\left(\zeta\right)}
  13. {\zeta-z_0}
  14. \left(\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right)^n
  15. \end{equation*}
  16. \medskip
  17. \begin{equation*}
  18. 0 \neq \left|\, \frac{1}{10^{10}} \left( \sum_{n = -\infty}^{\infty}
  19. e^{\frac{n^2}{10^{10}}} \right)^2 - \pi \,\right|
  20. \le 10^{-42 \cdot 10^9}
  21. \end{equation*}
  22. \medskip
  23. \begin{equation*}
  24. \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}
  25. \end{equation*}
  26. \end{frame}
  27. \begin{frame}
  28. \frametitle{Setzen mathematischer Formeln}
  29. \onslide<+->
  30. Prinzipiell ist Mathematik eine ganz andere Welt (nicht nur in \LaTeX), denn
  31. \begin{itemize}
  32. \item<+-> das Setzen mathematischer Formeln erfolgt in einer eigenen Umgebung
  33. \item<+-> mit eigenen Befehlen,
  34. \item<+-> eigener Schrift,
  35. \item<+-> eigenen Einstellungen
  36. \item<+-> und eigenen Tücken \dots
  37. \end{itemize}
  38. \onslide<+->
  39. aber es ist einfacher (und schöner) als in den meisten (allen) anderen Textsatzsystemen
  40. \end{frame}
  41. %%% HERE
  42. \section{Grundlagen}
  43. \begin{frame}[fragile]
  44. \frametitle{Das Grundgerüst}
  45. \onslide<+->
  46. \begin{block}{Zwei grundlegende Modi für Mathematik}
  47. \begin{itemize}
  48. \item<+-> Im laufenden Text mit \lstinline!$\text{\$}\dots\text{\$}$! oder
  49. \lstinline!\($\dots$\)!
  50. \item<+-> oder abgesetzt mit \lstinline!\[$\dots$\]! oder
  51. \lstinline!\begin{displaymath}$\dots$\end{displaymath}!
  52. \end{itemize}
  53. \end{block}
  54. \onslide<+->
  55. \begin{block}{Einige Formelelemente}
  56. \begin{itemize}
  57. \item Buchstaben, dargestellt als \textit{jeweils ein} Symbol, $xyz$,
  58. \item Zahlen: $123$,
  59. \item griechische Buchstaben $\gamma, \varepsilon, \xi, \ldots$ und
  60. hebräische wie $\aleph, \beth, \ldots$
  61. \item Operationen: $+$,$-$ und $\cdot$ (mit \lstinline!\cdot!)
  62. \item Sub- und Superskripte: $\text{\lstinline!x^2!} \mathrel{\hat=} x^2$
  63. und $\text{\lstinline!x_2!} \mathrel{\hat=} x_2$,
  64. \item Brüche: \lstinline!\frac{$\textit{Zähler}$}{$\textit{Nenner}$}!
  65. ${} \mathrel{\hat=} \frac{1}{n}$,
  66. \item Wurzeln: \lstinline!\sqrt[3]{x}! ${} \mathrel{\hat=} \sqrt[3]{x}$
  67. \end{itemize}
  68. \end{block}
  69. \end{frame}
  70. \begin{frame}[fragile]
  71. \onslide<+->
  72. \begin{Beispiel}
  73. Dies $\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty$ ist eine Textformel und
  74. \begin{displaymath}
  75. \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n} = \infty
  76. \end{displaymath}
  77. ist eine abgesetzte Formel.
  78. \onslide<+->
  79. \begin{lstlisting}
  80. Dies $\text{\$}$\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty$\text{\$}$
  81. ist eine Textformel und
  82. \begin{displaymath}
  83. \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n} = \infty
  84. \end{displaymath}
  85. ist eine abgesetzte Formel.
  86. \end{lstlisting}
  87. \end{Beispiel}
  88. \vspace*{-3\baselineskip} % this is a bug in the current layout
  89. \end{frame}
  90. \begin{frame}[fragile]
  91. \onslide<+->
  92. \begin{Beispiel}
  93. \begin{displaymath}
  94. \gamma + \frac{\aleph^{\beth - \frac{1+\beta\cdot
  95. x^2}{\sqrt{2}}}-5}{\sqrt[2+\sqrt{\phi}]
  96. {42-\alpha-\theta-\mu}^\pi}
  97. \end{displaymath}
  98. \onslide<+->
  99. \bigskip
  100. \begin{lstlisting}
  101. \begin{displaymath}
  102. \gamma
  103. + \frac{\aleph^{\beth - \frac{1+\beta\cdot x^2}{\sqrt{2}}}-5}
  104. {\sqrt[2+\sqrt{\phi}] {42-\alpha-\theta-\mu}^\pi}
  105. \end{displaymath}
  106. \end{lstlisting}
  107. \end{Beispiel}
  108. \end{frame}
  109. \section{Das Paket \texttt{amsmath}}
  110. \begin{frame}[fragile]
  111. \frametitle{\texttt{amsmath}}
  112. \onslide<+->
  113. \begin{block}{\textcolor{red!90}{Wichtig!}}
  114. Für das Setzen mathematischer Formeln sollte \emph{immer} das Paket \texttt{amsmath}
  115. geladen werden (oder ein Paket, welches \texttt{amsmath} lädt).
  116. \end{block}
  117. \onslide<+->
  118. Umgebungen aus dem Paket \texttt{amsmath}:
  119. \onslide<+->
  120. \begin{itemize}
  121. \item \texttt{equation} für einfache Formeln (ersetzt \texttt{displaymath})
  122. \item \texttt{split} für den Einsatz mehrzeiliger Formeln in der
  123. \texttt{equation}
  124. \item \texttt{align}, \texttt{alignat}, \texttt{aligned}, \texttt{alignedat}
  125. für mehrzeilige ausgerichtete Formeln
  126. \item \texttt{multline} für \enquote{zu lange} Formeln
  127. \item \texttt{gather} für lose zusammengeworfenen Formeln
  128. \item ...
  129. \end{itemize}
  130. \onslide<+->
  131. \texttt{*}-Variante für Umgebung ohne Nummer.
  132. \end{frame}
  133. \begin{frame}[fragile]
  134. \frametitle{Ausgerichtete Formeln}
  135. \onslide<+->
  136. mit
  137. \begin{lstlisting}
  138. \usepackage{amsmath}
  139. \begin{align*}
  140. $\dots$
  141. \end{align*}
  142. \end{lstlisting}
  143. \onslide<+->
  144. z.B.
  145. \begin{lstlisting}
  146. \begin{align*}
  147. 2x + y + 5x + z
  148. &= 2x + 5x + y + z \\
  149. &= 7x + y + z
  150. \end{align*}
  151. \end{lstlisting}
  152. wird zu\vspace*{-\baselineskip}
  153. \begin{align*}
  154. 2x + y + 5x + z &= 2x + 5x + y + z \\
  155. &= 7 x + y + z
  156. \end{align*}
  157. \end{frame}
  158. \begin{frame}[fragile]
  159. \frametitle{Tabellen (Matrizen)}
  160. \onslide<+->
  161. Für Matrizen gibt es die Umgebung \texttt{pmatrix}:
  162. \begin{lstlisting}
  163. \begin{equation*}
  164. \begin{pmatrix}
  165. 1 & 2 & 3 \\
  166. 4 & 5 & 6 \\
  167. 7 & 8 & 9
  168. \end{pmatrix}
  169. \end{equation*}
  170. \end{lstlisting}
  171. \onslide<+->
  172. \begin{equation*}
  173. \begin{pmatrix}
  174. 1 & 2 & 3 \\
  175. 4 & 5 & 6 \\
  176. 7 & 8 & 9
  177. \end{pmatrix}
  178. \end{equation*}
  179. \onslide<+->
  180. ist aber auch mit der Umgebung \texttt{array} möglich.
  181. \end{frame}
  182. \section{Einzelelemente}
  183. % Grundregeln: Leerzeichen werden ignoriert, keine Leerzeilen, kein Text in Matheformeln
  184. \begin{frame}[fragile]
  185. \frametitle{Klammern}
  186. \onslide<+->
  187. \LaTeX\ unterstützt jegliche Formen von Klammern:
  188. \begin{equation*}
  189. (x), \{x\},[x],\lfloor x\rfloor, \lceil x\rceil,\lvert x\rvert,\langle x \rangle,\ldots
  190. \end{equation*}
  191. \onslide<+->
  192. \begin{lstlisting}
  193. (x), \{x\},[x],\lfloor x\rfloor, \lceil x\rceil,
  194. \lvert x\rvert,\langle x \rangle,\ldots
  195. \end{lstlisting}
  196. \medskip
  197. \onslide<+->
  198. Größenanpassung mit \lstinline{\left} und \lstinline{\right}, jeweils paarig:
  199. \begin{lstlisting}
  200. \left(\sum_{i=0}^1 5 = 10\right)
  201. \end{lstlisting}
  202. \vspace*{-2ex}
  203. \begin{equation*}
  204. \left(\sum_{i=0}^1 5 = 10\right)
  205. \end{equation*}
  206. \vspace*{1ex}
  207. \onslide<+->
  208. \begin{lstlisting}
  209. \left|\sum_{i=0}^1 5 = 10\right[
  210. \end{lstlisting}
  211. \vspace*{-2ex}
  212. \begin{equation*}
  213. \left|\sum_{i=0}^1 5 = 10\right[
  214. \end{equation*}
  215. \end{frame}
  216. \begin{frame}[fragile]
  217. \frametitle{Klammern II}
  218. \onslide<+->
  219. oder auch
  220. \begin{lstlisting}
  221. \int_0^1 x^2 \mathop{} \mathsf d x =
  222. \left.\frac{1}{3}x^3\right|_0^1
  223. \end{lstlisting}
  224. \begin{equation*}
  225. \int_0^1x^2 \mathop{} \mathsf d x = \left.\frac{1}{3}x^3\right|_0^1
  226. \end{equation*}
  227. denn \verb|.| ist das Sonderzeichen für eine leere Klammer.
  228. \onslide<+->
  229. \medskip
  230. Klammern gibt es auch über- und unterhalb von Formeln mit Hilfe von
  231. \lstinline{\underbrace} und \lstinline{\overbrace}:
  232. \begin{lstlisting}
  233. 1+\underbrace{ 2 + \overbrace{3 + 4}^{7} }_{9} = 10
  234. \end{lstlisting}
  235. \begin{equation*}
  236. 1+\underbrace{ 2 + \overbrace{3 + 4}^{7} }_{9} = 10
  237. \end{equation*}
  238. \end{frame}
  239. \begin{frame}[fragile]
  240. \frametitle{Funktionen}
  241. \onslide<+->
  242. \begin{block}{Beobachtung}
  243. \vspace*{-\baselineskip}
  244. \begin{equation*}
  245. sin(x) \neq \sin(x)
  246. \end{equation*}
  247. \end{block}
  248. \onslide<+->
  249. daher: allgemein gebräuchliche Funktionen werden gesondert behandelt:
  250. \smallskip
  251. \begin{center}
  252. \begin{tabular}{ll|ll|ll|ll}
  253. \toprule
  254. \lstinline!\log! & $\log$ & \lstinline!\lg! & $\lg$ & \lstinline!\ln! & $\ln$ & \lstinline!\lim! & $\lim$ \\
  255. \lstinline!\sin! & $\sin$ & \lstinline!\arcsin! & $\arcsin$ & \lstinline!\sinh! & $\sinh$ & \lstinline!\cos! & $\cos$ \\
  256. \lstinline!\arccos! & $\arccos$ & \lstinline!\cosh! & $\cosh$ & \lstinline!\tan! & $\tan$ & \lstinline!\tanh! & $\tanh$ \\
  257. \lstinline!\arctan! & $\arctan$ & \lstinline!\cot! & $\cot$ & \lstinline!\coth! & $\coth$ & \lstinline!\max! & $\max$ \\
  258. \lstinline!\min! & $\min$ & \lstinline!\arg! & $\arg$ & \lstinline!\det! & $\det$ & \lstinline!\Pr! & $\Pr$ \\
  259. \bottomrule
  260. \end{tabular}
  261. \end{center}
  262. \smallskip
  263. \onslide<+->
  264. Damit sind auch korrekte Indizierungen möglich:
  265. \begin{lstlisting}
  266. lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad
  267. \not\equiv \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
  268. \end{lstlisting}
  269. \begin{equation*}
  270. lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad \not\equiv \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
  271. \end{equation*}
  272. \end{frame}
  273. \begin{frame}[fragile]
  274. \frametitle{Mengen}
  275. \onslide<+->
  276. Mengenbedingungen werden mit dem Kommando \lstinline{\mid} gesetzt:
  277. \begin{lstlisting}
  278. \{\, n \in \mathbb N \mid n \ge \pi \,\}
  279. \end{lstlisting}
  280. \vskip1ex
  281. \begin{equation*}
  282. \{\, n \in \mathbb N \mid n \ge \pi \,\}
  283. \end{equation*}
  284. Ein einfacher Strich | reicht nicht aus!
  285. \begin{equation*}
  286. \{\, n \in \mathbb N | n \ge \pi \,\}
  287. \end{equation*}
  288. \end{frame}
  289. \begin{frame}[fragile]
  290. \frametitle{Akzente}
  291. \onslide<+->
  292. Auch Akzente sind im Mathematikmodus neu:
  293. \medskip
  294. \begin{center}
  295. \begin{tabular}{ll|ll|ll}
  296. \toprule
  297. \lstinline!\acute! & $\acute x$ & \lstinline!\hat! & $\hat x$ & \lstinline!\grave! & $\grave x$ \\
  298. \lstinline!\ddot! & $\ddot x$ & \lstinline!\tilde! & $\tilde x$ & \lstinline!\bar! & $\bar x$ \\
  299. \lstinline!\breve! & $\breve x$ & \lstinline!\check! & $\check x$ & \lstinline!\dot! & $\dot x$ \\
  300. \lstinline!\vec! & $\vec x$ & \lstinline!\widetilde! & $\widetilde{xyz}$ & \lstinline!\widehat! & $\widehat{xyz}$ \\
  301. \lstinline!\mathring! & $\mathring x$ & \lstinline!\prime! & $x^{\prime}$ & \lstinline!'! & $x'$\\
  302. \bottomrule
  303. \end{tabular}
  304. \end{center}
  305. \medskip
  306. und mit Hilfe einiger Zusatzpakete gibt es noch viel mehr\ldots
  307. \end{frame}
  308. \begin{frame}[fragile]
  309. \frametitle{\dots\ und noch viel mehr Symbole}
  310. \onslide<+->
  311. Hier:
  312. \begin{center}
  313. \small \url{http://tug.ctan.org/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf}
  314. \end{center}
  315. oder
  316. \begin{verbatim}
  317. $ texdoc symbols-a4.pdf
  318. \end{verbatim}
  319. \onslide<+->
  320. und noch viel mehr zu sagen, z.B.
  321. \begin{itemize}
  322. \item<+-> gibt es 8 unterschiedliche Symbolklassen
  323. \item<+-> eigentlich 4 (8) Modi im Mathematikmodus
  324. \item<+-> Text in mathematischen Formeln (mit \lstinline!\text{ein wenig Text}!)
  325. \item<+-> manuelle Feinjustierung, z.B.
  326. \begin{equation*}
  327. \int_0^1x^2dx \neq \int_0^1 \! x^2 \mathop{} \mathrm{d}x
  328. \end{equation*}
  329. \item<+-> \ldots
  330. \end{itemize}
  331. \end{frame}
  332. \section{Mathematische Aussagen}
  333. \begin{frame}
  334. \frametitle{Definition, Satz, Beweis}
  335. \onslide<+->
  336. Für mathematische Argumentation sind oft spezielle Formatierungen für Definitionen,
  337. Sätze, usw.\,nötig.
  338. \onslide<+->
  339. \begin{Lemma}
  340. Ist $W$ eine ideale Welt, dann
  341. \begin{enumerate}
  342. \item werden alle Texte nur mit \LaTeX\ gesetzt, und deswegen
  343. \item sind alle mathematischen Formeln schön!
  344. \end{enumerate}
  345. \end{Lemma}
  346. \onslide<+->
  347. \begin{Proof}
  348. \onslide<+->Klar.\onslide<+->
  349. \end{Proof}
  350. \end{frame}
  351. \begin{frame}[fragile]
  352. \frametitle{Umgebungen für Defitionen, Sätze, \dots}
  353. \onslide<+->
  354. Manchmal werden solche Umgebungen von der Dokumentenklasse bereit gestellt (wie
  355. z.B.\,\texttt{beamer}).
  356. \onslide<+->
  357. \medskip
  358. Ansonsten helfen Pakete (\texttt{amsthm}, \texttt{ntheorem}, \dots)
  359. \onslide<+->
  360. \begin{lstlisting}
  361. \usepackage[thmmarks,amsmath,hyperref]{ntheorem}
  362. \theoremstyle{standard}
  363. \theoremheaderfont{\normalfont\bfseries}
  364. \theorembodyfont{\slshape}
  365. \newtheorem{Theorem} {Theorem} [section]
  366. \newtheorem{Proposition} [Theorem] {Proposition}
  367. \newtheorem{Lemma} [Theorem] {Lemma}
  368. \newtheorem{Corollary} [Theorem] {Corollary}
  369. \end{lstlisting}
  370. \end{frame}
  371. \section{Zum Abschluß}
  372. \begin{frame}
  373. \frametitle{Eine wichtige Grundregel}
  374. \onslide<2->
  375. \begin{center}
  376. \Huge\color[rgb]{0.9,0.1,0.1}
  377. Lesbarkeit geht vor!
  378. \end{center}
  379. \end{frame}
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