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Polishing lecture on mathematics

Signed-off-by: Daniel Borchmann <daniel.borchmann@tu-dresden.de>
master
Daniel Borchmann 4 years ago
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1
+\input{preamble}
2
+\subtitle{Setzen Mathematischer Formeln}
3
+\date{2015-11-30}
4
+
5
+\begin{document}
6
+
7
+\begin{frame}
8
+  \frametitle{Ziele dieses Abschnitts (oder: Wozu \TeX\ geschaffen wurde)}
9
+
10
+  \onslide<+->
11
+
12
+  \begin{equation*}
13
+    \frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z_0} = \frac{f\left(\zeta\right)}
14
+    {\zeta-z_0}\frac{1}{
15
+      1-\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f\left(\zeta\right)}
16
+    {\zeta-z_0}
17
+    \left(\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right)^n
18
+  \end{equation*}
19
+
20
+  \medskip
21
+
22
+  \begin{equation*}
23
+    0 \neq \left|\, \frac{1}{10^{10}} \left( \sum_{n = -\infty}^{\infty}
24
+        e^{\frac{n^2}{10^{10}}} \right)^2 - \pi \,\right|
25
+    \le 10^{-42 \cdot 10^9}
26
+  \end{equation*}
27
+
28
+  \medskip
29
+
30
+  \begin{equation*}
31
+    \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}
32
+  \end{equation*}
33
+
34
+\end{frame}
35
+
36
+\begin{frame}
37
+  \frametitle{Setzen mathematischer Formeln}
38
+
39
+  \onslide<+->
40
+
41
+  Prinzipiell ist Mathematik eine ganz andere Welt (nicht nur in \LaTeX), denn
42
+  \begin{itemize}
43
+  \item<+-> das Setzen mathematischer Formeln erfolgt in einer eigenen Umgebung
44
+  \item<+-> mit eigenen Befehlen,
45
+  \item<+-> eigener Schrift,
46
+  \item<+-> eigenen Einstellungen
47
+  \item<+-> und eigenen Tücken \dots
48
+  \end{itemize}
49
+
50
+  \onslide<+->
51
+
52
+  aber es ist einfacher (und schöner) als in den meisten (allen) anderen Textsatzsystemen
53
+\end{frame}
54
+
55
+%%% HERE
56
+
57
+\section{Grundlagen}
58
+
59
+\begin{frame}[fragile]
60
+  \frametitle{Das Grundgerüst}
61
+
62
+  \onslide<+->
63
+
64
+  \begin{block}{Zwei grundlegende Modi für Mathematik}
65
+    \begin{itemize}
66
+    \item<+-> Im laufenden Text mit \lstinline!$\text{\$}\dots\text{\$}$! oder
67
+      \lstinline!\($\dots$\)!
68
+    \item<+-> oder abgesetzt mit \lstinline!\[$\dots$\]! oder
69
+      \lstinline!\begin{displaymath}$\dots$\end{displaymath}!
70
+    \end{itemize}
71
+  \end{block}
72
+
73
+  \onslide<+->
74
+  
75
+  \begin{block}{Einige Formelelemente}
76
+    \begin{itemize}[<+->]
77
+    \item Buchstaben, dargestellt als \textit{jeweils ein} Symbol, $xyz$,
78
+    \item Zahlen: $123$,
79
+    \item griechische Buchstaben $\gamma, \varepsilon, \xi, \ldots$ und
80
+      hebräische wie $\aleph, \beth, \ldots$
81
+    \item Operationen: $+$,$-$ und $\cdot$ (mit \lstinline!\cdot!)
82
+    \item Sub- und Superskripte: $\text{\lstinline!x^2!}  \mathrel{\hat=} x^2$
83
+      und $\text{\lstinline!x_2!} \mathrel{\hat=} x_2$,
84
+    \item Brüche: \lstinline!\frac{$\textit{Zähler}$}{$\textit{Nenner}$}!
85
+      ${} \mathrel{\hat=} \frac{1}{n}$,
86
+    \item Wurzeln: \lstinline!\sqrt[3]{x}! ${} \mathrel{\hat=} \sqrt[3]{x}$
87
+    \end{itemize}
88
+  \end{block}
89
+
90
+\end{frame}
91
+
92
+\begin{frame}[fragile]
93
+
94
+  \onslide<+->
95
+  
96
+  \begin{Beispiel}
97
+  
98
+    Dies $\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty$ ist eine Textformel und
99
+    \begin{displaymath}
100
+      \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n} = \infty
101
+    \end{displaymath}
102
+    ist eine abgesetzte Formel.
103
+
104
+    \onslide<+->
105
+
106
+\begin{lstlisting}
107
+Dies $\text{\$}$\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty$\text{\$}$
108
+ist eine Textformel und
109
+\begin{displaymath}
110
+  \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n} = \infty
111
+\end{displaymath}
112
+ist eine abgesetzte Formel.
113
+\end{lstlisting}
114
+
115
+  \end{Beispiel}
116
+  
117
+\end{frame}
118
+
119
+\begin{frame}[fragile]
120
+
121
+  \onslide<+->
122
+
123
+  \begin{Beispiel}
124
+
125
+    \begin{displaymath}
126
+      \gamma + \frac{\aleph^{\beth - \frac{1+\beta\cdot
127
+            x^2}{\sqrt{2}}}-5}{\sqrt[2+\sqrt{\phi}]
128
+        {42-\alpha-\theta-\mu}^\pi}
129
+    \end{displaymath}
130
+
131
+    \onslide<+->
132
+
133
+    \bigskip
134
+
135
+\begin{lstlisting}
136
+\begin{displaymath}
137
+  \gamma
138
+  + \frac{\aleph^{\beth - \frac{1+\beta\cdot x^2}{\sqrt{2}}}-5}
139
+         {\sqrt[2+\sqrt{\phi}] {42-\alpha-\theta-\mu}^\pi}
140
+\end{displaymath}
141
+\end{lstlisting}
142
+
143
+  \end{Beispiel}
144
+
145
+\end{frame}
146
+
147
+\section{Das Paket \texttt{amsmath}}
148
+
149
+\begin{frame}[fragile]
150
+  \frametitle{\texttt{amsmath}}
151
+
152
+  \onslide<+->
153
+
154
+  \begin{block}{\textcolor{red!90}{Wichtig!}}
155
+    Für das Setzen mathematischer Formeln sollte \emph{immer} das Paket \texttt{amsmath}
156
+    geladen werden (oder ein Paket, welches \texttt{amsmath} lädt).
157
+  \end{block}
158
+
159
+  \onslide<+->
160
+
161
+  Umgebungen aus dem Paket \texttt{amsmath}:
162
+
163
+  \onslide<+->
164
+
165
+  \begin{itemize}
166
+  \item \texttt{equation} für einfache Formeln (ersetzt \texttt{displaymath})
167
+  \item \texttt{split} für den Einsatz mehrzeiliger Formeln in der
168
+    \texttt{equation}
169
+  \item \texttt{align}, \texttt{alignat}, \texttt{aligned}, \texttt{alignedat}
170
+    für mehrzeilige ausgerichtete Formeln
171
+  \item \texttt{multline} für \enquote{zu lange} Formeln
172
+  \item \texttt{gather} für lose zusammengeworfenen Formeln
173
+  \item ...
174
+  \end{itemize}
175
+
176
+  \onslide<+->
177
+
178
+  \texttt{*}-Variante für Umgebung ohne Nummer.
179
+
180
+\end{frame}
181
+
182
+\begin{frame}[fragile]
183
+  \frametitle{Ausgerichtete Formeln}
184
+
185
+  \onslide<+->
186
+
187
+  mit
188
+\begin{lstlisting}
189
+\usepackage{amsmath}
190
+\begin{align*}
191
+  $\dots$
192
+\end{align*}
193
+\end{lstlisting}
194
+
195
+  \onslide<+->
196
+
197
+  z.B.
198
+
199
+\begin{lstlisting}
200
+\begin{align*}
201
+  2x + y + 5x + z
202
+  &= 2x + 5x + y + z \\
203
+  &= 7x + y + z
204
+\end{align*}
205
+\end{lstlisting}
206
+
207
+  wird zu\vspace*{-\baselineskip}
208
+  \begin{align*}
209
+    2x + y + 5x + z &= 2x + 5x + y + z \\
210
+                    &= 7 x + y + z
211
+  \end{align*}
212
+
213
+\end{frame}
214
+
215
+\begin{frame}[fragile]
216
+  \frametitle{Tabellen (Matrizen)}
217
+
218
+  \onslide<+->
219
+
220
+  Für Matrizen gibt es die Umgebung \texttt{pmatrix}:
221
+
222
+\begin{lstlisting}
223
+\begin{equation*}
224
+  \begin{pmatrix}
225
+    1 & 2 & 3 \\
226
+    4 & 5 & 6 \\
227
+    7 & 8 & 9
228
+  \end{pmatrix}
229
+\end{equation*}
230
+\end{lstlisting}
231
+
232
+  \onslide<+->
233
+
234
+  \begin{equation*}
235
+    \begin{pmatrix}
236
+      1 & 2 & 3 \\
237
+      4 & 5 & 6 \\
238
+      7 & 8 & 9
239
+    \end{pmatrix}
240
+  \end{equation*}
241
+
242
+  \onslide<+->
243
+
244
+  ist aber auch mit der Umgebung \texttt{array} möglich.
245
+
246
+\end{frame}
247
+
248
+
249
+\section{Einzelelemente}
250
+
251
+% Grundregeln: Leerzeichen werden ignoriert, keine Leerzeilen, kein Text in Matheformeln
252
+
253
+\begin{frame}[fragile]
254
+  \frametitle{Klammern}
255
+
256
+  \onslide<+->
257
+
258
+  \LaTeX\ unterstützt jegliche Formen von Klammern:
259
+  \begin{equation*}
260
+    (x), \{x\},[x],\lfloor x\rfloor, \lceil x\rceil,\lvert x\rvert,\langle x \rangle,\ldots
261
+  \end{equation*}
262
+
263
+  \onslide<+->
264
+
265
+  \begin{lstlisting}
266
+    (x), \{x\},[x],\lfloor x\rfloor, \lceil x\rceil,
267
+    \lvert x\rvert,\langle x \rangle,\ldots
268
+  \end{lstlisting}
269
+    
270
+  \medskip
271
+
272
+  \onslide<+->
273
+
274
+  Größenanpassung mit \lstinline{\left} und \lstinline{\right}, jeweils paarig:
275
+
276
+\begin{lstlisting}
277
+\left(\sum_{i=0}^1 5 = 10\right)
278
+\end{lstlisting}
279
+
280
+  \vspace*{-2ex}
281
+
282
+  \begin{equation*}
283
+    \left(\sum_{i=0}^1 5 = 10\right)
284
+  \end{equation*}
285
+
286
+  \vspace*{1ex}
287
+
288
+  \onslide<+->
289
+
290
+\begin{lstlisting}
291
+\left|\sum_{i=0}^1 5 = 10\right[
292
+\end{lstlisting}
293
+
294
+  \vspace*{-2ex}
295
+
296
+  \begin{equation*}
297
+    \left|\sum_{i=0}^1 5 = 10\right[
298
+  \end{equation*}
299
+
300
+\end{frame}
301
+
302
+\begin{frame}[fragile]
303
+  \frametitle{Klammern II}
304
+
305
+  \onslide<+->
306
+
307
+  oder auch
308
+
309
+\begin{lstlisting}
310
+\int_0^1 x^2 \mathop{} \mathsf d x =
311
+  \left.\frac{1}{3}x^3\right|_0^1
312
+\end{lstlisting}
313
+  \begin{equation*}
314
+    \int_0^1x^2 \mathop{} \mathsf d x = \left.\frac{1}{3}x^3\right|_0^1
315
+  \end{equation*}
316
+
317
+  denn \verb|.| ist das Sonderzeichen für eine leere Klammer.
318
+
319
+  \onslide<+->
320
+  \medskip
321
+
322
+  Klammern gibt es auch über- und unterhalb von Formeln mit Hilfe von
323
+  \lstinline{\underbrace} und \lstinline{\overbrace}:
324
+\begin{lstlisting}
325
+1+\underbrace{ 2 + \overbrace{3 + 4}^{7} }_{9} = 10
326
+\end{lstlisting}
327
+  \begin{equation*}
328
+    1+\underbrace{ 2 + \overbrace{3 + 4}^{7} }_{9} = 10
329
+  \end{equation*}
330
+
331
+\end{frame}
332
+
333
+\begin{frame}[fragile]
334
+  \frametitle{Funktionen}
335
+
336
+  \onslide<+->
337
+
338
+  \begin{block}{Beobachtung}
339
+    \vspace*{-\baselineskip}
340
+    \begin{equation*}
341
+      sin(x) \neq \sin(x)
342
+    \end{equation*}
343
+  \end{block}
344
+
345
+  \onslide<+->
346
+
347
+  daher: allgemein gebräuchliche Funktionen werden gesondert behandelt:
348
+
349
+  \smallskip
350
+
351
+  \begin{center}
352
+    \begin{tabular}{ll|ll|ll|ll}
353
+      \toprule
354
+      \lstinline!\log! & $\log$ & \lstinline!\lg! & $\lg$ & \lstinline!\ln! & $\ln$ & \lstinline!\lim! & $\lim$ \\
355
+      \lstinline!\sin! & $\sin$ & \lstinline!\arcsin! & $\arcsin$ & \lstinline!\sinh! & $\sinh$ & \lstinline!\cos! & $\cos$ \\
356
+      \lstinline!\arccos! & $\arccos$ & \lstinline!\cosh! & $\cosh$ & \lstinline!\tan! & $\tan$ & \lstinline!\tanh! & $\tanh$ \\
357
+      \lstinline!\arctan! & $\arctan$ & \lstinline!\cot! & $\cot$ & \lstinline!\coth! & $\coth$ & \lstinline!\max! & $\max$ \\
358
+      \lstinline!\min! & $\min$  & \lstinline!\arg! & $\arg$ & \lstinline!\det! & $\det$  & \lstinline!\Pr! & $\Pr$ \\
359
+      \bottomrule
360
+    \end{tabular}
361
+  \end{center}
362
+
363
+  \smallskip
364
+
365
+  \onslide<+->
366
+
367
+  Damit sind auch korrekte Indizierungen möglich:
368
+\begin{lstlisting}
369
+lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad
370
+  \not\equiv \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
371
+\end{lstlisting}
372
+  \begin{equation*}
373
+    lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad \not\equiv \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
374
+  \end{equation*}
375
+\end{frame}
376
+
377
+\begin{frame}[fragile]
378
+  \frametitle{Mengen}
379
+
380
+  \onslide<+->
381
+
382
+  Mengenbedingungen werden mit dem Kommando \lstinline{\mid} gesetzt:
383
+\begin{lstlisting}
384
+\{\, n \in \mathbb N \mid n \ge \pi \,\}
385
+\end{lstlisting}
386
+  \vskip1ex
387
+  \begin{equation*}
388
+    \{\, n \in \mathbb N \mid n \ge \pi \,\}
389
+  \end{equation*}
390
+
391
+  \onslide<+->
392
+
393
+  Ein einfacher Strich | reicht nicht aus!
394
+  \begin{equation*}
395
+    \{\, n \in \mathbb N | n \ge \pi \,\}
396
+  \end{equation*}
397
+
398
+\end{frame}
399
+
400
+\begin{frame}[fragile]
401
+  \frametitle{Akzente}
402
+
403
+  \onslide<+->
404
+
405
+  Auch Akzente sind im Mathematikmodus neu:
406
+
407
+  \medskip
408
+
409
+  \begin{center}
410
+    \begin{tabular}{ll|ll|ll}
411
+      \toprule
412
+      \lstinline!\acute!    & $\acute x$    & \lstinline!\hat!       & $\hat x$          & \lstinline!\grave!   & $\grave x$ \\
413
+      \lstinline!\ddot!     & $\ddot x$     & \lstinline!\tilde!     & $\tilde x$        & \lstinline!\bar!     & $\bar x$ \\
414
+      \lstinline!\breve!    & $\breve x$    & \lstinline!\check!     & $\check x$        & \lstinline!\dot!     & $\dot x$ \\
415
+      \lstinline!\vec!      & $\vec x$      & \lstinline!\widetilde! & $\widetilde{xyz}$ & \lstinline!\widehat! & $\widehat{xyz}$ \\
416
+      \lstinline!\mathring! & $\mathring x$ & \lstinline!\prime!     & $x^{\prime}$        & \lstinline!'!        & $x'$\\
417
+      \bottomrule
418
+    \end{tabular}
419
+  \end{center}
420
+
421
+  \medskip
422
+
423
+  und mit Hilfe einiger Zusatzpakete gibt es noch viel mehr\ldots
424
+\end{frame}
425
+
426
+\begin{frame}[fragile]
427
+  \frametitle{\dots\ und noch viel mehr Symbole}
428
+
429
+  \onslide<+->
430
+
431
+  Hier:
432
+
433
+  \begin{center}
434
+    \small \url{http://tug.ctan.org/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf}
435
+  \end{center}
436
+
437
+  oder
438
+
439
+\begin{verbatim}
440
+$ texdoc symbols-a4.pdf
441
+\end{verbatim}
442
+
443
+  \onslide<+->
444
+
445
+  und noch viel mehr zu sagen, z.B.
446
+  \begin{itemize}
447
+  \item<+-> gibt es 8 unterschiedliche Symbolklassen
448
+  \item<+-> eigentlich 4 (8) Modi im Mathematikmodus
449
+  \item<+-> Text in mathematischen Formeln (mit \lstinline!\text{ein wenig Text}!)
450
+  \item<+-> manuelle Feinjustierung, z.B.
451
+    \begin{equation*}
452
+      \int_0^1x^2dx \neq \int_0^1 \! x^2 \mathop{} \mathrm{d}x
453
+    \end{equation*}
454
+  \item<+-> \ldots
455
+  \end{itemize}
456
+
457
+\end{frame}
458
+
459
+
460
+\section{Mathematische Aussagen}
461
+
462
+\begin{frame}
463
+  \frametitle{Definition, Satz, Beweis}
464
+
465
+  \onslide<+->
466
+
467
+  Für mathematische Argumentation sind oft spezielle Formatierungen für Definitionen,
468
+  Sätze, usw.\,nötig.
469
+
470
+  \onslide<+->
471
+
472
+  \begin{Lemma}
473
+    Ist $W$ eine ideale Welt, dann
474
+    \begin{enumerate}
475
+    \item werden alle Texte nur mit \LaTeX\ gesetzt, und deswegen
476
+    \item sind alle mathematischen Formeln schön!
477
+    \end{enumerate}
478
+  \end{Lemma}
479
+  \onslide<+->
480
+  \begin{Proof}
481
+    \onslide<+->Klar.\onslide<+->
482
+  \end{Proof}
483
+
484
+\end{frame}
485
+
486
+\begin{frame}[fragile]
487
+  \frametitle{Umgebungen für Defitionen, Sätze, \dots}
488
+
489
+  \onslide<+->
490
+
491
+  Manchmal werden solche Umgebungen von der Dokumentenklasse bereit gestellt (wie
492
+  z.B.\,\texttt{beamer}).
493
+
494
+  \onslide<+->
495
+
496
+  \medskip
497
+
498
+  Ansonsten helfen Pakete (\texttt{amsthm}, \texttt{ntheorem}, \dots)
499
+
500
+  \onslide<+->
501
+
502
+\begin{lstlisting}
503
+\usepackage[thmmarks,amsmath,hyperref]{ntheorem}
504
+\theoremstyle{standard}
505
+\theoremheaderfont{\normalfont\bfseries}
506
+\theorembodyfont{\slshape}
507
+\newtheorem{Theorem}     {Theorem} [section]
508
+\newtheorem{Proposition} [Theorem] {Proposition}
509
+\newtheorem{Lemma}       [Theorem] {Lemma}
510
+\newtheorem{Corollary}   [Theorem] {Corollary}
511
+\end{lstlisting}
512
+
513
+\end{frame}
514
+
515
+\section{Zum Abschluß}
516
+
517
+\begin{frame}
518
+  \frametitle{Eine wichtige Grundregel}
519
+
520
+  \onslide<2->
521
+
522
+  \begin{center}
523
+    \Huge\color[rgb]{0.9,0.1,0.1}
524
+
525
+    Lesbarkeit geht vor!
526
+  \end{center}
527
+
528
+\end{frame}
529
+
530
+\end{document}
531
+
532
+%%% Local Variables:
533
+%%% mode: latex
534
+%%% TeX-master: t
535
+%%% TeX-engine: luatex
536
+%%% ispell-local-dictionary: "de_DE"
537
+%%% End:

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