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Lecture on Math

Signed-off-by: Daniel Borchmann <daniel.borchmann@tu-dresden.de>
master
Daniel Borchmann 4 years ago
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1
+\documentclass{latex-htw-uebung}
2
+
3
+\title{4. Übungsblatt}
4
+\date{30.\ November 2015}
5
+
6
+\begin{document}
7
+
8
+\NewTask
9
+
10
+Welche Ausgabe erzeugt folgender \LaTeX-Code? (verwende das Paket
11
+\texttt{amssymb} zusätzlich zu \texttt{amsmath})
12
+
13
+\begin{lstlisting}
14
+\begin{equation*}
15
+  D := \bigl\{ v \in \mathbb{R}^{3} \bigm| \lvert v \rvert \leq 1 \bigr\}.
16
+\end{equation*}
17
+\end{lstlisting}
18
+
19
+Was geschieht, wenn man statt \lstinline{\bigl}, \lstinline{\bigr} und
20
+\lstinline{\bigm} die Befehle \lstinline{\Bigl}, \lstinline{\Bigr} und
21
+\lstinline{\Bigm} verwendet?  Was passiert mit \lstinline{\left},
22
+  \lstinline{\right} und \lstinline{\,\middle\,}?  Was passiert ohne die
23
+Kommandos \lstinline|\,|?
24
+
25
+
26
+\NewTask
27
+
28
+Versuche folgende Argumentation in \LaTeX\ zu setzen:
29
+
30
+\medskip
31
+
32
+\hrule
33
+
34
+\medskip
35
+
36
+Die \emph{Stirlingformel} gibt eine Approximation der Fakultätsfunktion an.  Sie besagt
37
+\begin{equation}
38
+  \label{eq:1}
39
+  \ln(n!) = n\ln(n) - n + \mathcal{O}(\ln(n)).
40
+\end{equation}
41
+Der nächste Term in der Fehlerapproximation $\mathcal{O}(\ln(n))$ ist $1/2 \cdot \ln(2 \pi
42
+n)$, so dass sich aus Formel~(\ref{eq:1}) ergibt
43
+\begin{equation*}
44
+  n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac n e \right)^{n}.
45
+\end{equation*}
46
+Tatsächlich hat die Stirlingformel als Approximationsformel für die Fakultätsfunktion die
47
+Eigenschaft, dass
48
+\begin{equation*}
49
+  \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac n e\right)^{n}} \to 1 \quad (n \to \infty).
50
+\end{equation*}
51
+
52
+\medskip
53
+\hrule
54
+\medskip
55
+
56
+{\small Quelle: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation}}
57
+
58
+
59
+\NewTask
60
+
61
+Setze die Formel für die \emph{Vandermonde-Matrix}:
62
+\begin{equation*}
63
+  \det
64
+  \begin{pmatrix}
65
+    1 & \alpha_{1} & \alpha_{1}^{2} & \dots & \alpha_{1}^{n-1} \\
66
+    1 & \alpha_{2} & \alpha_{2}^{2} & \dots & \alpha_{2}^{n-1} \\
67
+    1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \dots & \alpha_{3}^{n-1} \\
68
+    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
69
+    1 & \alpha_{m} & \alpha_{m}^{2} & \dots & \alpha_{m}^{n-1}
70
+  \end{pmatrix}
71
+   = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (\alpha_{j} - \alpha_{i}).
72
+\end{equation*}
73
+
74
+
75
+\NewTask
76
+
77
+Setze folgende Gleichung (entnommen aus der Dokumentation des Pakets \texttt{amsmath}):
78
+\begin{equation*}
79
+  \left.
80
+    \begin{aligned}
81
+      B' &= -\partial \times E \\
82
+      E' &=  \partial \times B - 4\pi j
83
+    \end{aligned}
84
+  \;\;\right\}
85
+  \quad \text{Maxwells Gleichungen}
86
+\end{equation*}
87
+
88
+
89
+\end{document}
90
+
91
+%%% Local Variables:
92
+%%% mode: latex
93
+%%% TeX-master: t
94
+%%% ispell-local-dictionary: "de_DE"
95
+%%% End:

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