\documentclass{latexkurs}
\subtitle{Setzen Mathematischer Formeln}
\date{\dateFourthLecture}

\begin{document}

\maketitle

\begin{frame}
  \frametitle{Ziele dieses Abschnitts}

  \onslide<+->

  \begin{equation*}
    \frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z_0} = \frac{f\left(\zeta\right)}
    {\zeta-z_0}\frac{1}{
      1-\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f\left(\zeta\right)}
    {\zeta-z_0}
    \left(\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right)^n
  \end{equation*}

  \medskip

  \begin{equation*}
    0 \neq \left|\, \frac{1}{10^{10}} \left( \sum_{n = -\infty}^{\infty}
        e^{\frac{n^2}{10^{10}}} \right)^2 - \pi \,\right|
    \le 10^{-42 \cdot 10^9}
  \end{equation*}

  \medskip

  \begin{equation*}
    \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}
  \end{equation*}

\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Setzen mathematischer Formeln}

  \onslide<+->

  Prinzipiell ist Mathematik eine ganz andere Welt (nicht nur in \LaTeX), denn
  \begin{itemize}
  \item<+-> das Setzen mathematischer Formeln erfolgt in einer eigenen Umgebung
  \item<+-> mit eigenen Befehlen,
  \item<+-> eigener Schrift,
  \item<+-> eigenen Einstellungen
  \item<+-> und eigenen Tücken \dots
  \end{itemize}

  \onslide<+->

  aber es ist einfacher (und schöner) als in den meisten (allen) anderen Textsatzsystemen
\end{frame}

%%% HERE

\section{Grundlagen}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Das Grundgerüst}

  \onslide<+->

  \begin{block}{Zwei grundlegende Modi für Mathematik}
    \begin{itemize}
    \item<+-> Im laufenden Text mit \lstinline!$\text{\$}\dots\text{\$}$! oder
      \lstinline!\($\dots$\)!
    \item<+-> oder abgesetzt mit \lstinline!\[$\dots$\]! oder
      \lstinline!\begin{displaymath}$\dots$\end{displaymath}!
    \end{itemize}
  \end{block}

  \onslide<+->

  \begin{block}{Einige Formelelemente}
    \begin{itemize}
    \item Buchstaben, dargestellt als \textit{jeweils ein} Symbol, $xyz$,
    \item Zahlen: $123$,
    \item griechische Buchstaben $\gamma, \varepsilon, \xi, \ldots$ und
      hebräische wie $\aleph, \beth, \ldots$
    \item Operationen: $+$,$-$ und $\cdot$ (mit \lstinline!\cdot!)
    \item Sub- und Superskripte: $\text{\lstinline!x^2!}  \mathrel{\hat=} x^2$
      und $\text{\lstinline!x_2!} \mathrel{\hat=} x_2$,
    \item Brüche: \lstinline!\frac{$\textit{Zähler}$}{$\textit{Nenner}$}!
      ${} \mathrel{\hat=} \frac{1}{n}$,
    \item Wurzeln: \lstinline!\sqrt[3]{x}! ${} \mathrel{\hat=} \sqrt[3]{x}$
    \end{itemize}
  \end{block}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]

  \onslide<+->

  \begin{Beispiel}

    Dies $\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty$ ist eine Textformel und
    \begin{displaymath}
      \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n} = \infty
    \end{displaymath}
    ist eine abgesetzte Formel.

    \onslide<+->

\begin{lstlisting}
Dies $\text{\$}$\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty$\text{\$}$
ist eine Textformel und
\begin{displaymath}
  \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n} = \infty
\end{displaymath}
ist eine abgesetzte Formel.
\end{lstlisting}

  \end{Beispiel}

  \vspace*{-3\baselineskip}     % this is a bug in the current layout

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]

  \onslide<+->

  \begin{Beispiel}

    \begin{displaymath}
      \gamma + \frac{\aleph^{\beth - \frac{1+\beta\cdot
            x^2}{\sqrt{2}}}-5}{\sqrt[2+\sqrt{\phi}]
        {42-\alpha-\theta-\mu}^\pi}
    \end{displaymath}

    \onslide<+->

    \bigskip

\begin{lstlisting}
\begin{displaymath}
  \gamma
  + \frac{\aleph^{\beth - \frac{1+\beta\cdot x^2}{\sqrt{2}}}-5}
         {\sqrt[2+\sqrt{\phi}] {42-\alpha-\theta-\mu}^\pi}
\end{displaymath}
\end{lstlisting}

  \end{Beispiel}

\end{frame}

\section{Das Paket \texttt{amsmath}}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{\texttt{amsmath}}

  \onslide<+->

  \begin{block}{\textcolor{red!90}{Wichtig!}}
    Für das Setzen mathematischer Formeln sollte \emph{immer} das Paket \texttt{amsmath}
    geladen werden (oder ein Paket, welches \texttt{amsmath} lädt).
  \end{block}

  \onslide<+->

  Umgebungen aus dem Paket \texttt{amsmath}:

  \onslide<+->

  \begin{itemize}
  \item \texttt{equation} für einfache Formeln (ersetzt \texttt{displaymath})
  \item \texttt{split} für den Einsatz mehrzeiliger Formeln in der
    \texttt{equation}
  \item \texttt{align}, \texttt{alignat}, \texttt{aligned}, \texttt{alignedat}
    für mehrzeilige ausgerichtete Formeln
  \item \texttt{multline} für \enquote{zu lange} Formeln
  \item \texttt{gather} für lose zusammengeworfenen Formeln
  \item ...
  \end{itemize}

  \onslide<+->

  \texttt{*}-Variante für Umgebung ohne Nummer.

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Ausgerichtete Formeln}

  \onslide<+->

  mit
\begin{lstlisting}
\usepackage{amsmath}
\begin{align*}
  $\dots$
\end{align*}
\end{lstlisting}

  \onslide<+->

  z.B.

\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  2x + y + 5x + z
  &= 2x + 5x + y + z \\
  &= 7x + y + z
\end{align*}
\end{lstlisting}

  wird zu\vspace*{-\baselineskip}
  \begin{align*}
    2x + y + 5x + z &= 2x + 5x + y + z \\
                    &= 7 x + y + z
  \end{align*}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Tabellen (Matrizen)}

  \onslide<+->

  Für Matrizen gibt es die Umgebung \texttt{pmatrix}:

\begin{lstlisting}
\begin{equation*}
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
    7 & 8 & 9
  \end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{lstlisting}

  \onslide<+->

  \begin{equation*}
    \begin{pmatrix}
      1 & 2 & 3 \\
      4 & 5 & 6 \\
      7 & 8 & 9
    \end{pmatrix}
  \end{equation*}

  \onslide<+->

  ist aber auch mit der Umgebung \texttt{array} möglich.

\end{frame}


\section{Einzelelemente}

% Grundregeln: Leerzeichen werden ignoriert, keine Leerzeilen, kein Text in Matheformeln

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Klammern}

  \onslide<+->

  \LaTeX\ unterstützt jegliche Formen von Klammern:
  \begin{equation*}
    (x), \{x\},[x],\lfloor x\rfloor, \lceil x\rceil,\lvert x\rvert,\langle x \rangle,\ldots
  \end{equation*}

  \onslide<+->

  \begin{lstlisting}
    (x), \{x\},[x],\lfloor x\rfloor, \lceil x\rceil,
    \lvert x\rvert,\langle x \rangle,\ldots
  \end{lstlisting}

  \medskip

  \onslide<+->

  Größenanpassung mit \lstinline{\left} und \lstinline{\right}, jeweils paarig:

\begin{lstlisting}
\left(\sum_{i=0}^1 5 = 10\right)
\end{lstlisting}

  \vspace*{-2ex}

  \begin{equation*}
    \left(\sum_{i=0}^1 5 = 10\right)
  \end{equation*}

  \vspace*{1ex}

  \onslide<+->

\begin{lstlisting}
\left|\sum_{i=0}^1 5 = 10\right[
\end{lstlisting}

  \vspace*{-2ex}

  \begin{equation*}
    \left|\sum_{i=0}^1 5 = 10\right[
  \end{equation*}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Klammern II}

  \onslide<+->

  oder auch

\begin{lstlisting}
\int_0^1 x^2 \mathop{} \mathsf d x =
  \left.\frac{1}{3}x^3\right|_0^1
\end{lstlisting}
  \begin{equation*}
    \int_0^1x^2 \mathop{} \mathsf d x = \left.\frac{1}{3}x^3\right|_0^1
  \end{equation*}

  denn \verb|.| ist das Sonderzeichen für eine leere Klammer.

  \onslide<+->
  \medskip

  Klammern gibt es auch über- und unterhalb von Formeln mit Hilfe von
  \lstinline{\underbrace} und \lstinline{\overbrace}:
\begin{lstlisting}
1+\underbrace{ 2 + \overbrace{3 + 4}^{7} }_{9} = 10
\end{lstlisting}
  \begin{equation*}
    1+\underbrace{ 2 + \overbrace{3 + 4}^{7} }_{9} = 10
  \end{equation*}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Funktionen}

  \onslide<+->

  \begin{block}{Beobachtung}
    \vspace*{-\baselineskip}
    \begin{equation*}
      sin(x) \neq \sin(x)
    \end{equation*}
  \end{block}

  \onslide<+->

  daher: allgemein gebräuchliche Funktionen werden gesondert behandelt:

  \smallskip

  \begin{center}
    \begin{tabular}{ll|ll|ll|ll}
      \toprule
      \lstinline!\log! & $\log$ & \lstinline!\lg! & $\lg$ & \lstinline!\ln! & $\ln$ & \lstinline!\lim! & $\lim$ \\
      \lstinline!\sin! & $\sin$ & \lstinline!\arcsin! & $\arcsin$ & \lstinline!\sinh! & $\sinh$ & \lstinline!\cos! & $\cos$ \\
      \lstinline!\arccos! & $\arccos$ & \lstinline!\cosh! & $\cosh$ & \lstinline!\tan! & $\tan$ & \lstinline!\tanh! & $\tanh$ \\
      \lstinline!\arctan! & $\arctan$ & \lstinline!\cot! & $\cot$ & \lstinline!\coth! & $\coth$ & \lstinline!\max! & $\max$ \\
      \lstinline!\min! & $\min$  & \lstinline!\arg! & $\arg$ & \lstinline!\det! & $\det$  & \lstinline!\Pr! & $\Pr$ \\
      \bottomrule
    \end{tabular}
  \end{center}

  \smallskip

  \onslide<+->

  Damit sind auch korrekte Indizierungen möglich:
\begin{lstlisting}
lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad
  \not\equiv \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
\end{lstlisting}
  \begin{equation*}
    lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad \not\equiv \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Mengen}

  \onslide<+->

  Mengenbedingungen werden mit dem Kommando \lstinline{\mid} gesetzt:
\begin{lstlisting}
\{\, n \in \mathbb N \mid n \ge \pi \,\}
\end{lstlisting}
  \vskip1ex
  \begin{equation*}
    \{\, n \in \mathbb N \mid n \ge \pi \,\}
  \end{equation*}

  Ein einfacher Strich | reicht nicht aus!
  \begin{equation*}
    \{\, n \in \mathbb N | n \ge \pi \,\}
  \end{equation*}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Akzente}

  \onslide<+->

  Auch Akzente sind im Mathematikmodus neu:

  \medskip

  \begin{center}
    \begin{tabular}{ll|ll|ll}
      \toprule
      \lstinline!\acute!    & $\acute x$    & \lstinline!\hat!       & $\hat x$          & \lstinline!\grave!   & $\grave x$ \\
      \lstinline!\ddot!     & $\ddot x$     & \lstinline!\tilde!     & $\tilde x$        & \lstinline!\bar!     & $\bar x$ \\
      \lstinline!\breve!    & $\breve x$    & \lstinline!\check!     & $\check x$        & \lstinline!\dot!     & $\dot x$ \\
      \lstinline!\vec!      & $\vec x$      & \lstinline!\widetilde! & $\widetilde{xyz}$ & \lstinline!\widehat! & $\widehat{xyz}$ \\
      \lstinline!\mathring! & $\mathring x$ & \lstinline!\prime!     & $x^{\prime}$        & \lstinline!'!        & $x'$\\
      \bottomrule
    \end{tabular}
  \end{center}

  \medskip

  und mit Hilfe einiger Zusatzpakete gibt es noch viel mehr\ldots
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{\dots\ und noch viel mehr Symbole}

  \onslide<+->

  Hier:

  \begin{center}
    \small \url{http://tug.ctan.org/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf}
  \end{center}

  oder

\begin{verbatim}
$ texdoc symbols-a4.pdf
\end{verbatim}

  \onslide<+->

  und noch viel mehr zu sagen, z.B.
  \begin{itemize}
  \item<+-> gibt es 8 unterschiedliche Symbolklassen
  \item<+-> eigentlich 4 (8) Modi im Mathematikmodus
  \item<+-> Text in mathematischen Formeln (mit \lstinline!\text{ein wenig Text}!)
  \item<+-> manuelle Feinjustierung, z.B.
    \begin{equation*}
      \int_0^1x^2dx \neq \int_0^1 \! x^2 \mathop{} \mathrm{d}x
    \end{equation*}
  \item<+-> \ldots
  \end{itemize}

\end{frame}


\section{Mathematische Aussagen}

\begin{frame}
  \frametitle{Definition, Satz, Beweis}

  \onslide<+->

  Für mathematische Argumentation sind oft spezielle Formatierungen für Definitionen,
  Sätze, usw.\,nötig.

  \onslide<+->

  \begin{Lemma}
    Ist $W$ eine ideale Welt, dann
    \begin{enumerate}
    \item werden alle Texte nur mit \LaTeX\ gesetzt, und deswegen
    \item sind alle mathematischen Formeln schön!
    \end{enumerate}
  \end{Lemma}
  \onslide<+->
  \begin{Proof}
    \onslide<+->Klar.\onslide<+->
  \end{Proof}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Umgebungen für Defitionen, Sätze, \dots}

  \onslide<+->

  Manchmal werden solche Umgebungen von der Dokumentenklasse bereit gestellt (wie
  z.B.\,\texttt{beamer}).

  \onslide<+->

  \medskip

  Ansonsten helfen Pakete (\texttt{amsthm}, \texttt{ntheorem}, \dots)

  \onslide<+->

\begin{lstlisting}
\usepackage[thmmarks,amsmath,hyperref]{ntheorem}
\theoremstyle{standard}
\theoremheaderfont{\normalfont\bfseries}
\theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{Theorem}     {Theorem} [section]
\newtheorem{Proposition} [Theorem] {Proposition}
\newtheorem{Lemma}       [Theorem] {Lemma}
\newtheorem{Corollary}   [Theorem] {Corollary}
\end{lstlisting}

\end{frame}

\section{Zum Abschluß}

\begin{frame}
  \frametitle{Eine wichtige Grundregel}

  \onslide<2->

  \begin{center}
    \Huge\color[rgb]{0.9,0.1,0.1}

    Lesbarkeit geht vor!
  \end{center}

\end{frame}

\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
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%%% TeX-engine: luatex
%%% ispell-local-dictionary: "de_DE"
%%% End:
